Die Aussagenlogik ist eine der fundamentalen Methoden der symbolischen Künstlichen Intelligenz und dient als formales System zur Repräsentation und Verarbeitung von Wissen. Sie ermöglicht die Ableitung logischer Schlussfolgerungen anhand klar definierter Regeln und ist die Grundlage vieler wissensbasierter Systeme.
Die Aussagenlogik basiert auf Aussagen, die entweder
wahr (1) oder falsch (0) sein können.
Jede Aussage wird durch eine Aussagenvariable
dargestellt, üblicherweise mit Buchstaben wie p,
q, r bezeichnet.
p: „Es regnet.“ (kann wahr oder falsch sein)q: „Der Boden ist nass.“ (kann wahr oder falsch
sein)Jede Aussage hat genau einen Wahrheitswert: entweder wahr (true, 1) oder falsch (false, 0).
Aussagen können mit logischen Operatoren verknüpft werden, um komplexe logische Ausdrücke zu bilden. Die wichtigsten Operatoren sind:
| Operator | Symbol | Bedeutung | Beispiel |
|---|---|---|---|
| Negation | ¬p |
„Nicht p“ | „Es regnet nicht.“ |
| Konjunktion | p ∧ q |
„p und q“ | „Es regnet und der Boden ist nass.“ |
| Disjunktion | p ∨ q |
„p oder q“ | „Es regnet oder der Boden ist nass.“ |
| Implikation | p → q |
„Wenn p, dann q“ | „Wenn es regnet, wird der Boden nass.“ |
| Äquivalenz | p ↔︎ q |
„p genau dann, wenn q“ | „Der Boden ist genau dann nass, wenn es regnet.“ |
Um den Wahrheitswert eines logischen Ausdrucks zu bestimmen, werden
Wahrheitstabellen verwendet. Hier ist eine beispielhafte
Wahrheitstabelle für die Implikation p → q:
p |
q |
p → q |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
Die Implikation ist nur falsch, wenn p
wahr und q falsch ist.
In der Aussagenlogik gibt es eine Reihe von Regeln, die zur Vereinfachung und Umformung von Ausdrücken verwendet werden:
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬qp ∧ p ≡ pp ∨ p ≡ pp ∧ q ≡ q ∧ pp ∨ q ≡ q ∨ p(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)Die Aussagenlogik findet breite Anwendung in der Künstlichen Intelligenz, insbesondere in folgenden Bereichen: